体積とは、ユークリッド空間における領域に、実数値を与える写像で。同様に、測度とは、一般の集合に実数値を与える写像です。測度が、完全加法族上で定義されることを、以前別の記事で学びました。

本記事では、測度空間にどのようなものがあるのかを学びます。

そして、後に登場する外測度と測度の関係を理解するために、 測度空間の完備性という概念を導入します。

それでは早速。

測度空間の例

ここでは、集合 $X$ 、 $X$ の集合族 $\mathscr{X}$ 、 $\mathscr{X}$ 上の測度 $\mu$ からなる対を、 $(X, \mathscr{X}, \mu)$ と表現し、「測度空間」と呼びます。

測度空間の例をいくつか示します。

確率空間

$\mu(X)=1$ の時、 $\mu$ を確率測度、測度空間を、確率空間と呼びます。

ポアソン分布を例に、確率測度と確率分布の関係考えてみましょう。ポアソン分布に従う確率変数は自然数 $\mathcal{N}$ ですから、 $X= \mathcal{N}$ となります。また、 $\mathscr{X}$ は、「 $\mathcal{N}$ の部分集合の全体」となります。

この時、 $E \in \mathscr{X}$ に対して、以下のようにおきます。

$\displaystyle{ \mu(E) = \sum_{n \in E}^{} p_n \\\\ p_n = \frac{ \exp {(- \lambda)} \lambda^{n} }{ n !}}$

二本目の式は、見慣れたポアソン分布の確率質量関数ですね。

実はこの時、 $\mu$ は、測度となっています。測度の定義は以下を適宜参照してください。 slmnphmet1-2.hatenablog.com また、

$\displaystyle{ \sum_{n \in \mathcal{N}} p_n = 1 }$

であり、全空間の測度が1であることから、確率空間であることも確認できますね。

ある集合 $X$ に対して、 $E \subset$ 、 $x_0 \in E$ を考えます。この時、

$\mu(E) = \left\{ \begin{array}{} 1 & (x\_0 \in E) \\\\ 0 &\ (x\_0 \notin E) \end{array} \right.$

と $\mu$ を定義すると、X、Xの部分集合の全体 $\mathscr{X}$ 、 $\mu$ の3対は測度空間となります。また、この時の $\mu$ を、ディラック測度と言います。

この測度空間もまた、確率空間となっています (ディラック測度で、E内とE外の測度の和が1になることから明らか)。

$X = \mathcal{N}$ 、 $\mathscr{X}$ は、「 $mathcal{N}$ の部分集合の全体、 $\mu(E)$ を、Xの部分集合Eに含まれる自然数の数とすると、これら3対は、測度空間を成します。

また、この時の $\mu$ は、数え上げ測度と呼ばれます。

これらが測度空間になることは、集合族が完全加法族であることと、 $\mu$ が測度としての定義を満たしていることから確認できます。

集合[tes: X]と、 $X$ 上の完全加法族 $\mathscr{X}$ 、測度 $\mu$ が、完備な測度空間であるとは、「 零集合( $\mu$ によって「0にうつされる集合)すべての部分集合が、完全加法族 $\mathscr{X}$ の要素である 」ときを言います。

数学の言葉で厳密に定義すると以下のようになります。

「 $E \in \mathscr{X}$ かつ、 $\mu(E)=0$ ならば、 $F \subset E$ なるすべてのXの部分集合Fに対して、 $F \in \mathscr{X}$ 」

$F \subset E \in \mathscr{X}$ ではありますが、 $F \in \mathscr{X}$ が必ずしも成り立つとは限りません(想像しにくいけど)。

完備性は、後に導入する「ルベーグ測度」の性質を知る上で大切です。この機会に頭に入れておくと、のちの理解のためになるかと思います。ではまた！